Решение типовых примеров В14 ЕГЭ по математике

В этой статье рассматриваются решений типовых задач B14 Единого Государственного экзамена. Условия задач взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

В задачах этого раздела экзаменуемый должен продемонстрировать умение работать с функциями. Как правило, для выполнения заданий этого раздела необходимо иметь базовые навыки работы с производными функции.

Пример 1: Найдите наименьшее значение функции  y=(x-8)e^x-7 на отрезке [6,8].

Алгоритм решений заданий такого типа следующий: нужно найти интервалы возрастания и убывания функции y(x) и, таким образом, определить наименьшее значение функции. Для этого нужно найти при каких значениях х производная функции y положительна и отрицательна (напомним, что функция возрастает при тех х, при которых производная функции положительна; функция убывает при тех х, при которых производная функции отрицательна).

Итак, для решения B14 этого типа необходимо найди производную функции у. Но функция у - произведение множителей (x-8) и e^x-7 . Вспомним правила дифференцирования произведения:

(uv)'=u'v+uv'

Следовательно, производная у равна:

y'=((x-8)e^x-7)'=(x-8)' e^x-7+(x-8)( e^x-7)'= ex-7+(x-8) e^x-7= e^x-7+(x-8) e^x-7= (1+x-8) e^x-7=

=(x-7) e^x-7

Применив метод интервалов, получим, что при x<7 функция убывает, при  x>7 функция возрастает. Следовательно, х=7 - точка минимума функции.

При этом, х=7 попадает в границы интересующего нас интервала [6,8].

Чтобы найти наименьшее значение функции нужно найти, чему равна функция в точке минимума.

у(7)=(7-8)e^7-7=(-1) e⁰=(-1) 1=-1

(напомним, что любое число, и е, в степени 0 равна 1).

Наименьшее значение функции в указанном интервале - (-1).

Пример 2: Найдите наименьшее значение функции      y=12cos x-13x+7  на отрезке     [-3π/2;0].

Алгоритм решения тот же самый, что и в предыдущей задаче. Сначала найдем производную функции у:

y'=(12cos x-13x+7)'=(12cos x)'-(13x)'+(7)'=-12sin x - 13

Заметим, что максимально возможным значением выражения (-12sin x - 13) будет равно (-1). Это связано с тем, что значения функции sin x изменяется в интервале  [-1;1]. Наибольшее значение выражения (-12sin x - 13) будет при  sin x =(-1) и оно  равно (-1). Следовательно, при любых значениях х производная функции отрицательна. Следовательно, функция убывает на всем множестве целых числе. Следовательно, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] нужно посчитать значение функции от наибольшего числа отрезка - от нуля.

y(0)=12 cos(0)-13*0+7=12-0+7=19

Наименьшее значение функции на рассматриваемом интервале - 19.

Пример 3: Найдите наибольшее значение функции y=2^{-37-12x-x^2}

Очевидно, что наибольшее значение функции у будет достигаться при наибольшем значении степени (назовет степень g(x))

g(x)=-37-12x-x²

Чтобы найти наибольшее значение g(x) посчитаем её производную

g'(x)=( -37-12x-x²)'=(-37)'-(12x)'-(x²)'=-12-2x= -2(x+6)

Применив метод интервалов, получим, что при x<-6 функция возрастает, при  x>-6 функция убывает. Следовательно, х=-6 - точка максимума функции.

Наибольшее значение g(x) равно:

g(-6)=-37-12*(-6)-(-6)²=-37+72-36= -1

Следовательно, наибольшее значение функции у:

у(-1)=2^-1=0,5

Пример 4: Найдите наибольшее значение функции y=log₇(-42-14x-x²)-6.

Чтобы решить B14 этого типа вычислим производную функции у и найдем такие значения х при которых уравнение y'=0 имеет решения.

Производная функции у имеет вид:

y'=( log₇(-42-14x-x²)-6)'=( log₇(-42-14x-x²))'-(6)'=( log₇(-42-14x-x²))'

Производная log₇(-42-14x-x²) вычисляется согласно правилу дифференцирования сложной функции:

(f(g(x)))'=f_g'*g_x'

Следовательно, производная функции у имеет вид:

y'=(-42-14x-x²)'/( (-42-14x-x²)*ln7)= (-42-14x-x²)'/( (-42-14x-x²)*ln7)=

=(-14-2x) /( (-42-14x-x²)*ln7)

Следовательно, уравнение y'=0, если знаменатель дроби равен нулю:

-14-2х=0

х=(-7)

(заметим, что при х=(-7) значение выражения под знаком логарифма больше нуля)

Итак, мы нашли точку экстремума. То есть, при (-7) достигается наибольшее или наименьшее значение. Но какое? Для ответа на этот вопрос можно построить интервалы возрастания или убывания функции, но в этом примере мы предложим другой вариант. При х=-7 точно достигается или наибольшее или наименьшее значение. Давайте, найдем значение функции в произвольной точке и сравним его со значением полученным в точке х=(-7). Если значение в произвольной точке будет больше, то в х=(-7) достигается наименьшее значение. И наоборот, если значение в произвольной точке будет меньше, то в х=(-7) достигается наибольшее значение.

Итак,

у(-7)=log₇(-42-14*(-7)-(-7)²)-6= log₇(-42+98-49)-6=

= log₇(7)-6=1-6=-5

Теперь посчитаем значение функции в произвольной точке из области допустимых значения. Например, в точке х=-6

у(-6)=log₇(-42-14*(-6)-(-6)²)-6= log₇(-42+84-36)-6=

= log₇(6)-6

Очевидно, что log₇(6) меньше нуля. Следовательно,  (log₇(6)-6)<(-6)<y(-7)=-5.

Следовательно, (-5) - наибольшее значение функции.

Пример 5: Найдите точку максимума функции y=1,5x²-42x+135lnx-4.

Для решения B14 этого типа необходимо вспомнить, что такое точка максимума. Точка максимума функции - точка экстремума функции в которой функция принимает наибольшее значение.

Механизм нахождения точек экстремума известен:  вычислим производную функции у и найдем такие значения х при которых уравнение y'=0 имеет решения.

Итак, производная функции у равна:

y'=(1,5x²-42x+135lnx-4)'=(1,5x²)'-(42x)'+(135lnx)'-(4)'=

=3x-42+135/x

Теперь решим уравнение y'=0

3x-42+135/x=0

Умножим обе части равенства на х

3x²-42х+135=0

Разделим обе части равенства на 3

x²-14х+45=0

Корни этого уравнения можно найти, например, по теореме Виета:

х=5 и х=9

Найдем значения функции в этих точках:

у(5)=1,5*25-42*5+135ln5-4=37,5-210-4+135ln5=-176,5+135ln5;

у(9)=1,5*81-42*9+135ln9-4=121,5-378-4+135ln9=

=-260,5+135ln9

у(5)> у(9), следовательно х=5 - точка максимума.